包络定理

经济学中包络定理

在经济学中包络主要指的就是包络定理，西方经济学中应用在分析厂家长期成产成本函数等的理论工具。包络定理的内容就是最优解点的轨迹组成的曲线在经济学里企业长期平均成本线就是短期成本线的包络线。数学表达式就是 lac（w1,w2,y）=sac(w1,w2,y(w1,w2,p)),其中：y(w1,w2,p)为最优产量。

换言之，包络定理的内容也可以表达为考虑含参量a的函数f(x,a)的无条件极值问题（x是内生变量，a是外生变量）。显然，一般地其最优解V是参量a的函数，即V(a)。

包络定理指出：V对a的导数等于f对a的偏导数（注意是f对“a所在位”变量的偏导数　）

数学中的包络定理
　　
在数学上，一族平面直线(或曲线)的“包络”(envelope)是指一条与这族直线(或曲线)中任意一条都相切的曲线。假设这族平面曲线记为F(t,x,y)，这里不同的t 对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足右下端的两条方程，由这两条方程消去t 后便可得出包络线的隐式表示 。

类似地可以定义空间中一族平面(或曲面)的包络。

直线组成一个圈，然而实际上我们并没有“画”这个圆，这时就把这个圆称作是包络线。

要想画出类似的包络线，首先要画出一个大圆(例如直径10cm)，并把圆 周分成36等分，用量角器每10°作一点即可。 　　

把第n点与第n+10点连线，就可画出如图1的圆形包络线。如果n+10大于36，则须减去36。例如当n=29时，n+10=39，减去36之后得到3，所以第29点是与第3点连线。

包络定理的适用范围

包络定理主要用于比较静态分析。

比如，价格P1变化对效用最大值的边际影响，包络定理说，求拉格朗日方程对P1的偏导就能得到，其结果是-X1*Lamda，其中X1是需求量，Lamda是拉格朗日乘子。这里注意，事实上Lamda和X1也都是价格的函数。但包络定理的结论是，在求偏导的时候不用考虑这一点。 可以这样理解包络定理的逻辑。 首先，最大化的效用值事实上就是拉格朗日函数的最大值。然后，我们对拉格朗日函数的最大值求导。给定其他价格和收入不变，这个函数的最大值可以写成L[P1,X(P),Lamda(P)]。X(P)是向量，但下面我把它当普通的变量处理。 那么 dL/dP1=L1+L2(dX/dP1)+L3(dLamda/dP1) 其中Li是L对第i个分量的偏导。 具体看右边的第二项与第三项。最大化一阶条件其实就是这里的L2=0，因此第二项等于零。（可以验证一下） L3是-(p*x-m)。由于这一项肯定等于零，所以第三项也等于零。 所以dL/dp=L1，即为包络定理的结论。

包络定理的数学化表达

对最大问题：

记v为其最大值函数。

假设它在q处可导，则最大值处的拉格朗日定理：