利用混合FEBI实现高效仿真

中心议题：
        *利用混合FEBI实现高效仿真

有限元法(FEM)作为一种分析和设计工具，已广泛应用于天线、微波和信号完整性等众多电子工程领域。FEM求解器与其它矩量法(MoM)和时域有限差分法(FDTD)等数值方法相比拥有多项显著优势。这些优势包括：能够处理复杂的非均匀和各向异性材料；能够借助四面体单元准确地描绘复杂几何形状；能够使用高阶基函数实现准确性；以及具有多种端口和入射波等激励方式。利用这些功能优势，FEM就能够以极高的准确性对波导结构进行建模。

但是，对于开放空间问题(例如天线向开放空间辐射的时候)，FEM求解器需要通过在人工截断的边界表面上设定辐射边界条件(RBC)，以便将无限域截断为有限域。两种广泛使用的RBC包括一阶吸收边界条件(ABC)和理想匹配层(PML)，后者通常情况下都能够提供最佳的准确性。两种方法都保留了FEM系统矩阵的稀疏性，但仅适用于凸起的辐射表面。两种都属于近似方法，都存在准确性问题，也就是会产生来自辐射表面的非物理伪反射。这个问题可以通过增大RBC与辐射结构的间距，使反射降至可忽视的水平，来予以解决。

另一方面，积分方程(IE)法(比如MoM)则非常适合对位于匀质边界或无限大介质中的结构进行建模。其分析内核采用格林函数，可以在无穷远处采用Sommerfeld辐射条件。因此，不管是从内存占用，还是从CPU时间占用来说，对多个在空间上分离、互不相连的同质结构，IE求解器都毋庸置疑地成为了更好的选择，因为它不需要对目标之间的空间进行详细的建模。

早在1990年就已经成功实现了FEM求解器和IE求解器的混合算法，这个方法现普遍称为混合有限元边界积分方法(FEBI)。这种方法把边界积分(BI，Sommerfeld辐射条件的MoM解)用作FEM解的截断边界，因此可以在理论上准确地处理远场辐射条件。这样就引出了一系列感兴趣的特性，比如可用作任意形状的、距离辐射体很近的全共形辐射表面。

本文将介绍ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。该求解器得力于近期区域分解方法的进步。在现有的FEBI方法中，无限未知域被分割为两个互不重叠的域：一个有界FEM域和一个无 界同质外部域。两个域间的耦合通过其交界面上合适的边界条件加以考虑。

图1：将目标域分解为FEM域和IE域。

基于域分解的FEBI求解器

FEBI求解器首先将原始的目标域Ω分割为两个互不重叠的子域Ω1和Ω2，如图1所示。

Ω1和Ω2之间的公共界面在FEM域中表达为?Ω1，在IE域中表达为?Ω2。有必要进行这种区分，因为现有公式允许两个域间的非共形耦合。也就是说，可以分开处理各个域的网格剖分、基函数和基函数阶数、矩阵建立和求解过程。对于一个稳健的FEBI求解器来说，能够以模块化的方式处理每个域的不同基函数阶数非常重要，因为更高阶的IE求解器仍在开发过程中。

根据上述的域分解情况，最终的系统矩阵可表示为

这里，AFE和ABI分别代表FEM域和BI域的系统矩阵。C是两个域之间的耦合矩阵。由于仅是通过界面上的电流和磁流来实现耦合，因此这种耦合非常稀疏。等式2的解可以通过进行如下拆分而迭代求得

然后得到

域分解法的优势可从(4)式中清楚看出。将FEM域与BI域去耦后，并行化就变得不重要了。上文已经介绍BI可在FEM中用作准确的截断边界。由于这种实现方式的模块化特征，可以轻松地实现先进的FEM求解器和IE求解器的混合求解。

应用

在本节中，将重点介绍使用这种混合方法的两个例子来突显FEBI的优势。如前文所述，一阶ABC可以用于足够大的有界共形空间，但这个空间不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近与模型的间距，但却最适合于长方体有界区域。对混合FEBI技术来说，由于可以精确计算边界上电流和磁流的耦合，因此不用考虑这些外形和大小的约束问题。从这种新边界的测试显示可以看出，当间距为λ0/10的时候，能够实现速度和求解规模的最佳平衡。这里，λ0是开放空间中的波长。另外，FEBI边界可以做到完全共形，包括凹区域。除此之外，还可以把模型的各个独立部分闭合到单独的域，每个域都有一个BI边界。通过使用高度共形和分离空间的区域，可以大幅度缩小有限元求解域的范围，从而实现高效率的仿真。为证明这一点，下面将介绍两个例子，其中一个使用独立空间，另一个使用高度共形边界表面。

图2：采用矩形喇叭馈源的介质透镜。

第一个例子使用的是完全符合教科书的介质透镜，透镜及其馈源喇叭如图2所示。透镜将来自于源天线的电磁场聚焦于正前方。仿真的透镜采用长方体波导管作为馈源，其εr=2.56，正面直径为4.4λ0。然后使用混合FEBI法对系统进行分离域的建模：馈源喇叭及周围的长方体空间作为一个域，透镜周围的圆锥形区域作为另一个域，每个分离空间的截断面都采用了BI边界。

图3：透镜的辐射特性。

为便于比较，同时采用了PML对该天线系统进行建模：为准确求解，使用了一个更大的长方体空气盒子将整个模型包含在内，并相距辐射体足够距离以保证结果的准确性。与采用PML仿真相比，FEBI模型使用的较小空间可以将内存占用降低10倍。图中同时显示了两种仿真计算所得电场的阴影图。如其所示，虽然FEBI仿真使用的分离空间较小，但透镜和喇叭内外的电磁场都得到了准确的计算，并与PML计算的结果相吻合。喇叭的反射系数(Г)随与透镜的距离缩小而增大。在比较加透镜前后的喇叭端口反射时，两种仿真都显示了1.8dB的相同Г增长。图3是两种方法计算得到的该天线系统的前向方向图，再度体现了FEBI与PML之间的高度吻合。图2和图3表明，FEBI在使用分离空间来确定天线系统的特性时，具有非常好的准确性。

图4：安装在卫星上的螺旋天线阵列。

第二个例子考查的是一组安装在复杂平台上的天线阵列(图4)。它是一个由螺旋天线组成的7元阵列(安装在卫星平台上)。卫星两端之间的长度为18英尺，天线的工作频率为3.5GHz。由于这是一个大型模型，所以还是采用域分解法(DDM)来将FEM域分割为多个较小的域。这种集成运载平台的天线系统之前曾采用了标准的ABC进行仿真，并使用了大型的闭合长方体空间。该模型闭合空间的体积大约为21000λ，DDM将求解范围分解为34个域。仿真总共需要的存储空间为210GB RAM。

图5：卫星安装天线阵列的辐射特性。

图6：7元阵列同等激励下的辐射电磁场三维极坐标图。

FEBI仿真采用了全共形空间，该共形区域如图所示。闭合的空间体积下降为1200λ3。由于目标空间缩小，且只需要在12个域上应用DDM，所以仿真只需21GB RAM便已足够。因此，相对于使用标准RBC求解，FEBI仿真所需存储空间大幅减少。图5是两种仿真在同等幅度和相位激励下所有天线元的辐射特性，两种特性实现了完美的吻合。使用FEBI对位于卫星上的等激励天线阵列仿真得出的三维极坐标方向图如图6所示。从这个例子可以看出，通过将FEBI与高度共形的有界域结合使用，便可在单个计算机上完成大型复杂天线系统的仿真工作。

本文小结

混合FEBI是HFSS的FEM求解器中一个功能强大的新成员。设计工程师可以利用这种新技术将FEM仿真的优势与IE求解器的效率和准确性相结合，用于处理开放边界问题。这个方法对共形区域、凹空间和独立空间都能取得较好的准确性，可以让用户缩小FEM求解域的范围，从而大幅度缩短求解时间和减少求解所需占用的存储空间。